Die Lorentztransformation

Wohin und wie wir uns bewegen, die Zeit bleibt dieselbe - oder ist invariant. Diese alltägliche Erfahrung spiegelt sich in den Newtonschen Gesetzen wieder, die unter "Gallilei Transformationen" ihre Form nicht ändern. Für ein Koordinatensystem im Raum gilt, dass eine räumiche Drehung, eine geradlinige Verschiebung und eine Verschiebung mit konstanter Geschwindigkeit  die Newtonschen Gesetze nicht ändert. Man kann die mechanischen Gesetze in jedem dieser räumlichen Koordinatensystem mit gleichem Recht anwenden. Nur - die Zeit wird nicht transformiert.

Lasse man Drehung und konstante Verschiebung weg. Wenn sich der Koordinatenursprung von S' mit v bewegt, dann hat ein Punkt x' von S' in dem ruhenden System S die Koordinate:

\[\overrightarrow{x}\ = \overrightarrow{x'} + \overrightarrow{v}*t\]

Wenn die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen (Systemen, die sich mit ± v gegeneinander bewegen) dieselbe - invariant - ist, dann müssen sich sowohl Ort als auch Zeit transformieren, eine einfache Verschiebung des Ortes mit der Zeit funktioniert nicht. Da alle Inertialssysteme weiterhin gleichberechtig sein müssen, sollte diese Transformation Hin- und zurück dieselbe Form haben. Wäre es eine quadratischen Transformation, dann wäre die Rücktransformtion irgend etwas mit einer Wurzel, bei einer exponentiellen Transformation irgendetwas mit einem Logarithmus. Also wählt man eine lineare Transformation. Ich schreibe sie erst mal vollständig hin.

\[\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{00} &a_{01}&a_{02}&a_{03} \\a_{10} &a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20} &a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30} &a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\\\end{pmatrix}\]

Wie breitet sich nun Licht aus? Im System S gilt für die radiale Ausbreitung:

\[x^{2}+y^{2}+z^{2}= (ct)^2\]

Hätte es die Versuche zur Lichtgeschwindigkeit nicht gegeben, so erschine uns im System S' eine Lichtgeschwindigkeit von c + v. Die Versuche gab es aber und deshalb gilt für die radiale Ausbreitung in den neuen Koordinaten auch die invariante Lichtgeschwindigkeit c.

\[x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}= (ct')^2\]

Fur die obigen Koordinaten wählen wir dann eine Zeitkoordinate und die üblichen Namen in kartesischen Koordinaten \(x^i:\space ct, x, y, z\). Zusätzlich soll das bewegte System S' sich parallel zur a-Achse von S bewegen. Folgendes wissen wir jetzt:

\[y' = y, \space z' = z\]\[ x'= x - vt= x-\frac{v}{c}(ct)\]\[(ct)^2 - x^2=(ct')^2 - x'^2\]

können die \(a_{ij}\) ermittelt werden:

\[ct' = a_{00}ct + a_{01}x\]\[x' = a_{10}ct + a_{11}x\]

Die folgenden Abkürzungen sind üblich und praktisch.

\(\beta=\frac{v}{c}\) und \(\gamma=\sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}}\)

Dann nimmt die Lortentztransformation folgende Form an:

\[\begin{pmatrix}ct' \\x' \end{pmatrix}=\gamma*\begin{pmatrix}1 & -\beta\\ -\beta &1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}ct\\x \end{pmatrix}\]

Ereignisse und Abstände

Raum-Zeit-Ereignisse haben wir bei der Herleitung der Lorentztransformation in Tupeln dargestellt und als Vektoren (Vierervektor, 4-Vektor) gehandhabt. Im unserem normalen Raum, dem euklidischen Raum, gibt es einen Weg oder Abstand zwischen zwei Punkten. Verbindet man diese Punkte mit einer Strecke s, setzt eine Pfeilspitze am Endpunkt an die Strecke, so haben wir einen Vektor mit Orientierung, Richtung und Länge. Diese Länge s ist das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Bleiben wir im Raum und messen wir den örtlichen (räumlichen) Abstand zu einer definierten Zeit, so gilt nach dem Satz des Pythagoras:

\[s_{raum}^2 = x^2 + y^2 + z^2\]

Halten wir an einem speziellen Raumpunkt, dann ist der Laufweg des Lichts innerhalb einer Zeit t:

\[s_{zeit}^2=(ct)^2\]

Der maximale örtliche Abstand in unserer (normalen, "kausalen") Welt ist der, wo ein LIchtimpuls eines Ereignis auf ein anderes wirken kann. Also:

\[s_{zeit}^2=(ct)^2=x^2 + y^2 + z^2=s_{raum-max}^2\]

Wenn obiges der Fall ist, kann ein Ereignis kann gerade noch auf ein anderes wirken.

Viele Physiker haben sich darauf fetgelegt, das Quarat des räumlichen Abstands (\(s_{raum}^2\)) vom Quadrat des zeitlichen Abstands (\(s_{zeit}^2\)) abzuziehen. Dies ist eine gängige Festlegung des (quadratischen) Raum-Zeit-Abstands (Ereignisabstands) im Minkowskiraum. Man kann für die 4-Vektoren ein Skalarprodukt festlegen. Der den Raum-Zeit-Abstand wird wie folgt  berechnet.

\[s^2 = \begin{pmatrix}ct&x & y&z \end{pmatrix}*\small\begin{pmatrix}1 & 0 &0&0 \\0 & -1 &0&0\\0 & 0 &-1&0\\0 & 0 &0&-1 \end{pmatrix}\normalsize*\begin{pmatrix}ct\\x \\ y\\z \end{pmatrix}\]

Ausgeschrieben heißt das für den Abstand zum Nullpunkt:

\[s_{ereignis}^2=(ct)^2 - (x^2+ y^2 +z^2)= s_{zeit}^2 - s_{raum}^2 \]

Für den Abstand zweier beliebiger Raum-Zeit-Ereignisse nimmt man die Differenz je zweier Koordinaten (\(\Delta x^i=x^i_2 - x^i_1\) im System S oder (\(\Delta x'^i=x'^i_2 - x'^i_1\)) im System S'.

Zeitdilatation und Längenkontraktion

Zeitdilatation

Die Ereignisabstände sind invariant. Aber die zeitlichen Abstände nicht. In einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Koordinatensystem S' wird die Zeitkoordinate aus S von \(ct =1\) zu \(ct' = 1,155\).  Allerdings wird die Orstkoordinate auch transformiert von \(x=0\) zu \(x' =-0,577\). Wenn die Uhr in S stünde, so hätte sie sich in S' bewegt. Sie zeigt die längere Zeit an. Weil eine Uhr eine Uhr ist, macht es uns nichts, dass sie in S' ihren Ort wechselt. Die Zeit in S' bleibt Zeit.

In S ist die Ortsänderung \(\Delta x = 0\), uns interessiert die Ortsänderung in S' nicht.

Mit der Lorentztransformation berechnet man die Zeitdilatation (\(\gamma\geq 0\)):

\(\Delta ct' = \gamma* \Delta ct\)

Längenkontraktion

Bestimmt man die Länge eines räumlichen Abstand ("Stabes"), so geht es um 2 Ereignispunkte, linkes und rechtes Ende des Stabes. In der nebenstehenden Animation sieht man, dass eine gleichzeitige Bestimmung des rechten und linken Endes im Ruhesytem S einer ungleichzeitigen Bestimmung in S' entspricht.

Bei der Bestimmung der Zeitdifferenz  war es egal, wo die Uhr in S' steht. Die Enden des Stabes werden in S' aber zeitgleich zu bestimmen sein. Man vergleicht also die in S bestimmte Länge bei \(ct_{rechts} = ct_{links}\) mit der in S' bestimmten bei  \(ct'_{rechts} = ct'_{links}\).

Die Lorentztransformation liefert:

Aus der gleichzeitigen Bestimmung räumlichen Endpunkte \(ct'_{rechts} - ct'_{links} = 0\) ergibt sich:

\[\Delta x' = \frac{1}{\gamma}*\Delta x\]