Die Lorentztransformation
Wohin und wie wir uns bewegen, die Zeit bleibt dieselbe - oder ist invariant. Diese alltägliche Erfahrung spiegelt sich in den Newtonschen Gesetzen wieder, die unter "Gallilei Transformationen" ihre Form nicht ändern. Für ein Koordinatensystem im Raum gilt, dass eine räumiche Drehung, eine geradlinige Verschiebung und eine Verschiebung mit konstanter Geschwindigkeit die Newtonschen Gesetze nicht ändert. Man kann die mechanischen Gesetze in jedem dieser räumlichen Koordinatensystem mit gleichem Recht anwenden. Nur - die Zeit wird nicht transformiert.
Lasse man Drehung und konstante Verschiebung weg. Wenn sich der Koordinatenursprung von S' mit v bewegt, dann hat ein Punkt x' von S' in dem ruhenden System S die Koordinate:
\[\overrightarrow{x}\ = \overrightarrow{x'} + \overrightarrow{v}*t\]
Wenn die Lichtgeschwindigkeit in allen Inertialsystemen (Systemen, die sich mit ± v gegeneinander bewegen) dieselbe - invariant - ist, dann müssen sich sowohl Ort als auch Zeit transformieren, eine einfache Verschiebung des Ortes mit der Zeit funktioniert nicht. Da alle Inertialssysteme weiterhin gleichberechtig sein müssen, sollte diese Transformation Hin- und zurück dieselbe Form haben. Wäre es eine quadratischen Transformation, dann wäre die Rücktransformtion irgend etwas mit einer Wurzel, bei einer exponentiellen Transformation irgendetwas mit einem Logarithmus. Also wählt man eine lineare Transformation. Ich schreibe sie erst mal vollständig hin.
\[\begin{pmatrix}x'^0\\x'^1\\x'^2\\x'^3\\\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{00} &a_{01}&a_{02}&a_{03} \\a_{10} &a_{11}&a_{12}&a_{13}\\a_{20} &a_{21}&a_{22}&a_{23}\\a_{30} &a_{31}&a_{32}&a_{33} \end{pmatrix}\begin{pmatrix}x^0\\x^1\\x^2\\x^3\\\end{pmatrix}\]
Wie breitet sich nun Licht aus? Im System S gilt für die radiale Ausbreitung:
\[x^{2}+y^{2}+z^{2}= (ct)^2\]
Hätte es die Versuche zur Lichtgeschwindigkeit nicht gegeben, so erschine uns im System S' eine Lichtgeschwindigkeit von c + v. Die Versuche gab es aber und deshalb gilt für die radiale Ausbreitung in den neuen Koordinaten auch die invariante Lichtgeschwindigkeit c.
\[x'^{2}+y'^{2}+z'^{2}= (ct')^2\]
Fur die obigen Koordinaten wählen wir dann eine Zeitkoordinate und die üblichen Namen in kartesischen Koordinaten \(x^i:\space ct, x, y, z\). Zusätzlich soll das bewegte System S' sich parallel zur a-Achse von S bewegen. Folgendes wissen wir jetzt:
\[y' = y, \space z' = z\]\[ x'= x - vt= x-\frac{v}{c}(ct)\]\[(ct)^2 - x^2=(ct')^2 - x'^2\]
können die \(a_{ij}\) ermittelt werden:
\[ct' = a_{00}ct + a_{01}x\]\[x' = a_{10}ct + a_{11}x\]
Die folgenden Abkürzungen sind üblich und praktisch.
\(\beta=\frac{v}{c}\) und \(\gamma=\sqrt{\frac{1}{1-\beta^2}}\)
Dann nimmt die Lortentztransformation folgende Form an:
\[\begin{pmatrix}ct' \\x' \end{pmatrix}=\gamma*\begin{pmatrix}1 & -\beta\\ -\beta &1 \end{pmatrix}*\begin{pmatrix}ct\\x \end{pmatrix}\]
