Zeitdilatation und Längenkontraktion
Zeitdilatation
Die Ereignisabstände sind invariant. Aber die zeitlichen Abstände nicht. In einem mit der Geschwindigkeit v bewegten Koordinatensystem S' wird die Zeitkoordinate aus S von \(ct =1\) zu \(ct' = 1,155\). Allerdings wird die Orstkoordinate auch transformiert von \(x=0\) zu \(x' =-0,577\). Wenn die Uhr in S stünde, so hätte sie sich in S' bewegt. Sie zeigt die längere Zeit an. Weil eine Uhr eine Uhr ist, macht es uns nichts, dass sie in S' ihren Ort wechselt. Die Zeit in S' bleibt Zeit.
In S ist die Ortsänderung \(\Delta x = 0\), uns interessiert die Ortsänderung in S' nicht.
Mit der Lorentztransformation berechnet man die Zeitdilatation (\(\gamma\geq 0\)):
\(\Delta ct' = \gamma* \Delta ct\)
Längenkontraktion
Bestimmt man die Länge eines räumlichen Abstand ("Stabes"), so geht es um 2 Ereignispunkte, linkes und rechtes Ende des Stabes. In der nebenstehenden Animation sieht man, dass eine gleichzeitige Bestimmung des rechten und linken Endes im Ruhesytem S einer ungleichzeitigen Bestimmung in S' entspricht.
Bei der Bestimmung der Zeitdifferenz war es egal, wo die Uhr in S' steht. Die Enden des Stabes werden in S' aber zeitgleich zu bestimmen sein. Man vergleicht also die in S bestimmte Länge bei \(ct_{rechts} = ct_{links}\) mit der in S' bestimmten bei \(ct'_{rechts} = ct'_{links}\).
Die Lorentztransformation liefert:
\[ct'_{rechts} - ct'_{links} =\]\[ \gamma * ((ct_{rechts} - ct_{links}) -\beta* (x_{rechts} - x_{links}))\]
\[x'_{rechts} - x'_{links}=\]\[\gamma*((x_{rechts} - x_{links})-\beta*(ct_{rechts} - ct_{links}))\]
Aus der gleichzeitigen Bestimmung räumlichen Endpunkte \(ct'_{rechts} - ct'_{links} = 0\) ergibt sich:
\[(ct_{rechts} - ct_{links}) =\beta*(x_{rechts} - x_{links})\]\[\Rightarrow\]
\[x'_{rechts} - x'_{links}\]\[=\gamma*((x_{rechts} - x_{links})-\beta*\beta*(x_{rechts} - x_{links}))\]\[=\gamma* (1-\beta^2)*(x_{rechts} - x_{links})\]\[=\frac{1}{\gamma}*(x_{rechts} - x_{links})\]
\[\Delta x' = \frac{1}{\gamma}*\Delta x\]
