Ereignisse und Abstände
Raum-Zeit-Ereignisse haben wir bei der Herleitung der Lorentztransformation in Tupeln dargestellt und als Vektoren (Vierervektor, 4-Vektor) gehandhabt. Im unserem normalen Raum, dem euklidischen Raum, gibt es einen Weg oder Abstand zwischen zwei Punkten. Verbindet man diese Punkte mit einer Strecke s, setzt eine Pfeilspitze am Endpunkt an die Strecke, so haben wir einen Vektor mit Orientierung, Richtung und Länge. Diese Länge s ist das Skalarprodukt des Vektors mit sich selbst. Bleiben wir im Raum und messen wir den örtlichen (räumlichen) Abstand zu einer definierten Zeit, so gilt nach dem Satz des Pythagoras:
\[s_{raum}^2 = x^2 + y^2 + z^2\]
Halten wir an einem speziellen Raumpunkt, dann ist der Laufweg des Lichts innerhalb einer Zeit t:
\[s_{zeit}^2=(ct)^2\]
Der maximale örtliche Abstand in unserer (normalen, "kausalen") Welt ist der, wo ein LIchtimpuls eines Ereignis auf ein anderes wirken kann. Also:
\[s_{zeit}^2=(ct)^2=x^2 + y^2 + z^2=s_{raum-max}^2\]
Wenn obiges der Fall ist, kann ein Ereignis kann gerade noch auf ein anderes wirken.
Viele Physiker haben sich darauf fetgelegt, das Quarat des räumlichen Abstands (\(s_{raum}^2\)) vom Quadrat des zeitlichen Abstands (\(s_{zeit}^2\)) abzuziehen. Dies ist eine gängige Festlegung des (quadratischen) Raum-Zeit-Abstands (Ereignisabstands) im Minkowskiraum. Man kann für die 4-Vektoren ein Skalarprodukt festlegen. Der den Raum-Zeit-Abstand wird wie folgt berechnet.
\[s^2 = \begin{pmatrix}ct&x & y&z \end{pmatrix}*\small\begin{pmatrix}1 & 0 &0&0 \\0 & -1 &0&0\\0 & 0 &-1&0\\0 & 0 &0&-1 \end{pmatrix}\normalsize*\begin{pmatrix}ct\\x \\ y\\z \end{pmatrix}\]
Ausgeschrieben heißt das für den Abstand zum Nullpunkt:
\[s_{ereignis}^2=(ct)^2 - (x^2+ y^2 +z^2)= s_{zeit}^2 - s_{raum}^2 \]
Für den Abstand zweier beliebiger Raum-Zeit-Ereignisse nimmt man die Differenz je zweier Koordinaten (\(\Delta x^i=x^i_2 - x^i_1\) im System S oder (\(\Delta x'^i=x'^i_2 - x'^i_1\)) im System S'.
\[\Delta s_{ereignis}^2=(\Delta ct)^2 - (\Delta x^2+\Delta y^2 +\Delta z^2) \]
\[\Delta s_{ereignis}^2= \Delta s_{zeit}^2 - \Delta s_{raum}^2\]
\[(\Delta s'_{ereignis})^2=(\Delta ct')^2 - (\Delta x')^2+(\Delta y')^2 +(\Delta z')^2) \]
\[(\Delta s'_{ereignis})^2= (\Delta s'_{zeit})^2 - (\Delta s'_{raum})^2\]
Der Raum-Zeit-Abstand ändert sich nicht, wenn man von einem System S in ein dem gegenüber mit einer Geschwnidigkeit v bewegten System S' wechselt. Der Abstand ist invariant unter Lorentztransformationen.
\[(\Delta s_{ereignis})^2=(\Delta s'_{ereignis})^2\]
Die nebenstehende Animation "Ereignisabstand" zeigt mehre Raum-Zeit-Abstände zum Nullpunkt.
